题目

题型：浙江省期末题难度：来源：

如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（，0），动点P从点O出发，沿折线OACB方向匀速运动，另一动点Q从点C出发，沿折线CBOA方向匀速运动．
（1）求点A的坐标点和正方形AOBC的面积；
（2）将正方形绕点O顺时针旋转45°，求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；
（3）若P的运动速度是1个单位/每秒，Q的运动速度是2个单位/每秒，P、Q两点同时出发，当Q运动到点A 时P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在这样的t值，使△OPQ成为等腰三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）连接AB，与OC交于点D
由△OCA为等腰Rt△，得AD=OD=OC=2
∴点A的坐标为（2，2）
正方形AOBC的面积16
（2）旋转后可得OA"=OB=4
∴A"C=4﹣4，而可知∠CA"E=90°，∠OCB=45°
∴△A"EC是等腰直角三角形
∴A"E=A"C=4﹣4
∴S_{四边形OA"EB}=S_△OBC﹣S_△A"EC=16﹣16
（3）存在，从Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种：
①当Q点在BC上时，使OQ=QP，QM为OP的垂直平分线
则有OP=2OM=2BQ，而OP=t，BQ=4﹣2t，

∴t=2（4﹣2t）
∴t=
∴Q（，﹣）
②当Q点在OB上时，使OQ=OP，而OP=t，OQ=8﹣2t
∴t=8﹣2t
∴t=
∴Q（，﹣）
③当Q点在OA上时，使OP=PQ，t²﹣24t+96=0，（舍去），t=12﹣4
∴Q（4，4）