题目

题型：不详难度：来源：

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，延长CB至F，使BF=CD．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：△CAF为等腰三角形；
（3）如果设AD=x，求四边形ABCD的面积S（用x表示）．

答案

（1）∵AD∥BC，AB=DC，∴∠DCB=∠ABC；
∵AD=DC，∴∠DCA=∠DAC．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
则∠DCB=2∠ACB，所以∠ABC=2∠ACB．
∵AC⊥AB，∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ACB=30°，∠ABC=60°；

（2）证明：∵BF=CD，AB=DC，∴BF=AB．
∴∠F=∠BAF．
∵∠ABC=60°，∴∠F=30°．
∴∠ACB=∠F．
∴AC=AF，即：△CAF为等腰三角形；

（3）作AE⊥BC于E．
∵AB=AD=x，∠ABC=60°，
∴AE=

3

2

x．
∵∠ACB=30°，AC⊥AB，
∴BC=2x．
∴S_梯形ABCD=

1

2

×（x+2x）×

3

2

x=

3 3

4

x²．