题目

题型：河北难度：来源：

已知线段AC=8，BD=6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S₁、S₂和S₃，则S₁=______，S₂=______，S₃=______；
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？

答案

（1）S₁=24，S₂=24，S₃=24；

（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24．
证明如下：
∵AC⊥BD，
∴S_△BAC=

1

2

AC?OB，S_△DAC=

1

2

AC?OD，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

AC?OB+

1

2

AC?OD=

1

2

AC?（OB+OD）=

1

2

AC?BD=24．

（3）顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积仍为24．
证明：∵AC⊥BD，
∴S_△ABD=

1

2

AO?BD，S_△BCD=

1

2

CO?BD，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=

1

2

AO?BD+

1

2

CO?BD=

1

2

BD（AO+CO）=

1

2

BD?AC=24．