解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x²+bx+c中得
∴
∴抛物线解析式为：y=﹣x²﹣2x+3；
（2）存在
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称
∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小
∵y=﹣x²﹣2x+3
∴C的坐标为：（0，3）
直线BC解析式为：y=x+3
Q点坐标即为
解得
∴Q（﹣1，2）；
（3）存在．
理由如下：设P点（x，﹣x²﹣2x+3）（﹣3＜x＜0）
∵S_△BPC=S_{四边形BPCO}﹣S_△BOC=S_{四边形BPCO}﹣
若S_{四边形BPCO}有最大值，则S_△BPC就最大，
∴S_{四边形BPCO}=S_△BPE+S_{直角梯形PEOC}
=BE×PE+OE（PE+OC）
=（x+3）（﹣x²﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x²﹣2x+3+3）
=
当x=﹣时，S_{四边形BPCO}最大值=
∴S_△BPC最大值=
当x=﹣时，﹣x²﹣2x+3=
∴点P坐标为（﹣，）．