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题目
题型:北京模拟题难度:来源:
如图,已知抛物线
(1)求证:无论m取什么实数,这条抛物线与x轴一定有交点。
(2)设这条抛物线与x轴的正半轴交于两点(设A点在B点的左侧),当线段AB长为3时,求这条抛物线的解析式,以及A、B两点的坐标。
(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C,过A、B两点分别作两条直线与x轴垂直,又过点C作直线ll与这两条直线依次交于x轴上方的E、F两点,如果梯形ABFE的面积等于9,求直线l的解析式。
(4)设线段AB上有一个动点P,P从A点出发向B点移动(但不与B重合),过P点作PM垂直x轴,交(2)中的抛物线于点M。设,问:是否存在这样的t值,使与以P、M、B为顶点的直角三角形相似?如果存在,求出t的值;如果不存在,请说明理由。
答案
解:(1)由条件知,一元二次方程根的判别式为
                 
               ∵无论m取什么实数,都有成立,即成立
               ∴方程必定有实数根,即抛物线与x轴一定有交点。
    (2)由题意,可设,则
                由一元二次方程根与系数关系,有
                
                  
                   解得
               当时,与不符合,∴只取m=4
                 ∴所求抛物线的解析式为
                  当时,解得
                
(3)∵抛物线与y轴交于点C 
            
           ∴可设直线l的解析式为: 
            分别与x轴垂直, 可设
            都在x轴上方,
              而
             
                即
                解得
                 ∴直线l的解析式为:
(4)存在t,使相似
  
     而
     要使相似,应有两种可能情形:
        <1>当时,有
              即整理得
             ∵t=3时,点P与点B重合,不合题意,∴t≠3
           
           时,符合条件
<2>当时,仍有
      即有整理,得
      解得
        当t=0或t=3时均不符合题设条件,即这种情形不可能
         综合<1><2>可知,存在t,当它的值为时,可使相似。
核心考点
试题【如图,已知抛物线(1)求证:无论m取什么实数,这条抛物线与x轴一定有交点。(2)设这条抛物线与x轴的正半轴交于两点(设A点在B点的左侧),当线段AB长为3时,求】;主要考察你对二次函数的图象等知识点的理解。[详细]
举一反三
抛物线y=-(x-4)2-5的对称轴是[     ]
A.直线x=-4
B.直线x=-5
C.直线x=5
D.直线x=4
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抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
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x

-3
-2
-1
0
1

y

-6
0
4
6
6

抛物线y=x2-2x+3与坐标轴交点为

[     ]

A.二个交点
B.一个交点
C.无交点
D.三个交点
二次函数y=(x+1)(x-1)的对称轴是(     )。
如图所示,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标。
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积。
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由。