题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵
∴抛物线顶点M的坐标为（1，-4m）
∵抛物线与x轴交于A，B两点，
∴当时，
∵
∴
解得：
∴A，B两点的坐标为（-1，0）、（3，0）。
（2）当时，
∴点C的坐标为
∴
过点M作轴于点D，则


∴
=
=
=3m
∴。
（3）存在使为直角三角形的抛物线
过点C作于点N，则为

∴
∴
在中，
在中，
①如果是，且
那么
即
解得
∵
∴
∴存在抛物线使得是；
②如果是，且那么

即
解得
∵
∴
∴存在抛物线，使得是；
③如果是，且
那么
即
整理得此方程无解
∴以为直角的直角三角形不存在
综上所述，存在抛物线和
使得是。