题目

题型：不详难度：来源：

（满分13分）如图11，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点B、C ；抛物线经过B、C两点，并与轴交于另一点A．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点M，交直线BC于点N ．
① 若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值 ？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
② 求以BC为底边的等腰△BPC的面积．

答案

（1）
（2）①    ② 

解析

（1）由于直线经过B、C两点,令y=0得=3；令=0，得y=3
∴B（3，0），C（0，3）       ……1分
∵点B、C在抛物线上，于是得
                  ……2分
解得b=2，c="3                   " ……3分
∴所求函数关系式为 ……4分
（2）①∵点P（,y）在抛物线上，且PN⊥x轴，

∴设点P的坐标为（, ） ……5分
同理可设点N的坐标为（，）    ……6分
又点P在第一象限，
∴PN=PM-NM
=（）-（）
=
= ……7分
∴当时，
线段PN的长度的最大值为．          ……8分
②解法一：
由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，又由①知，OB=OC

∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为
又点P在抛物线上,于是有∴…9分
解得          ……10分
∴点P的坐标为：或  …11分
若点P的坐标为  ，此时点P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，  ，OB=OC=3
 

……12分

 若点P的坐标为                          ， 此时点P在第三象限，
则



          ……13分
解法二：由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，
又由①知，OB=OC
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为
又点P在抛物线上，于是有
∴   ……9分
解得        ……10分
∴点P的坐标为:
 或 …11分
若点P的坐标为 ，此时点P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，
 ，OB=OC=3



若点P的坐标为   ，  此时点P在第三象限，（与解法一相同）……13分
当点P在第一象限时，△BPC面积其它解法有：
①，BC=


②


  （本答案仅供参考）