题目
题型:不详难度:来源:
(1)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过点A,但不过点B,写出平移后的一个抛物线的函数表达式(任写一个即可);
(2)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过A,B两点,记为抛物线l2,如图2,求抛物线l2的函数表达式;
(3)设抛物线l2的顶点为C,K为y轴上一点.若S△ABK=S△ABC,求点K的坐标;
(4)请在图3上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P,使△ABP为等腰三角形.若存在,请判断点P共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明理由.
答案
例如y=x2+1,y=x2+x,y=(x-1)2+2或y=x2-2x+3,
y=(x+-1)2,y=(x-1-)2.
(2)设抛物线l2的函数表达式为y=x2+bx+c,
∵点A(1,2),B(3,1)在抛物线l2上,
∴, 解得,
∴抛物线l2的函数表达式为y=x2-x+.
(3)y=x2-x+=(x-)2+,
∴C点的坐标为(,).
过A,B,C三点分别作x轴的垂线,垂足分别为D,E,F,
则AD=2,CF=,BE=1,DE=2,DF=,EF=.
∴S△ABC=S梯形ADEB-S梯形ADFC-S梯形CFEB=(2+1)×2-(2+)×-(1+)×=.
延长BA交y轴于点G,设直线AB的函数表达式为y=mx+n,
∵点A(1,2),B(3,1)在直线AB上,
∴,解得,
∴直线AB的函数表达式为y=-x+.
∴G点的坐标为(0,).
设K点坐标为(0,h),分两种情况:
若K点位于G点的上方,则KG=h-.
连接AK,BK.
S△ABK=S△BKG-S△AKG=×3×(h-)-×1×(h-)=h-.
∵S△ABK=S△ABC=,
∴h-=,
解得h=.
∴K点的坐标为(0,).
若K点位于G点的下方,则KG=-h.
同理可得,h=.
∴K点的坐标为(0,).
(4)作图痕迹如图所示.
由图可知,点P共有4个可能的位置.
解析
(2)可设出平移后的二次函数的解析式,然后将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求得l2的函数表达式.
(3)本题可通过求三角形的面积来求K的坐标.由于三角形ABC的面积无法直接求出,因此可其转换成其他规则图形面积的和差来解.分别过A、B、C三点作x轴的垂先,因此三角形ABC的面积可用三个直角梯形的面积差来求出.可先根据直线AB求出其与y轴的交点G的坐标,设出K点坐标后即可表示出KG的长,然后可根据三角形KBG和KAG的面积差表示出三角形KAB的面积,然后根据得出的三角形ABC的面积即可求出K的坐标.
(4)应有三点:①以A为圆心,AB为半径作弧可交抛物线l2于一点;②以B为圆心,AB为半径坐标交抛物线于另一点;③作线段AB的垂直平行线可交抛物线于两点,因此共有三个符合条件的P点.
核心考点
试题【如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(3,1),二次函数y=x2的图象记为抛物线l1.(1)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过点A,】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.ac+1=b | B.ab+1=c | C.bc+1="a" | D. |
(1)请直接写出抛物线c2的表达式;
(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.
①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;
②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问:当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?
(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A,求m和k的值;
(3)设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧),将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点B和点C)向左平移个单位后得到的图象记为C,同时将(2)中得到的直线向上平移n个单位。请结合图象回答:当平移后的直线与图象G有公共点时,n的取值范围。
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
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