已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，此抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．△ABC的面积等于1.5.（1）请求出抛物线的解 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线y=﹣

x²+bx+c的对称轴为直线x=1，此抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．△ABC的面积等于1.5.
（1）请求出抛物线的解析式,并求出点A的坐标.
（2）在抛物线上是否存在点M，使得△MAB的面积等于△ABC的面积.如果存在，求出符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上.请求出此时点Q的坐标和直线BQ的函数解析式；

②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

答案

（1）

A（0 ，4 ）
（2）

( －3, －1 )

( 4,3/4)
（3）①Q（4，0）直线BQ的解析式为：y=-x+4；
②P1（1+

，

），P2（1+3

，-

），P3（1-

，

），
P4（1-3

，-

）

解析

（1）有抛物线的对称轴方程可求出b的值，通过△ABC的面积求得c的值，进而求出抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）假设在抛物线上是存在点M，使得△MAB的面积等于△ABC的面积，那么利用同底的三角形，只要证明点C到AB的距离等于M到AB的距离即可，解得。
（3）由题中条件可知点C的横坐标为顶点B的横坐标，然后利用E点与PQ共线得到点E的横坐标，然后借助于直角三角形的垂直关系，可知道点Q的坐标，从而得到直线BQ的方程，同理可知道点P的坐标。
（3）①由△CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到∠DQO=45°，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式．
②分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标．

核心考点

试题【已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，此抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．△ABC的面积等于1.5.（1）请求出抛物线的解】；主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]

举一反三

若二次函数y=x²﹣6x+c的图象过A（﹣1，y₁），B（2，y₂），C（

，y₃），则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　▲　）

A．y₁＞y₂＞y₃

B．y₁＞y₃＞y₂

C．y₂＞y₁＞y₃

D．y₃＞y₁＞y₂

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如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和
矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的
距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数
关系

且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

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如图1，点A为抛物线C₁：

的顶点，点B的坐标为(1，0)，直线AB交抛物线C₁于另一点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C₁于点E，平行于y轴的直线x＝a
交直线AB于F，交抛物线C₁于G，若FG：DE＝4∶3，求a的值；
(3)如图2，将抛物线C₁向下平移m(m＞0)个单位得到抛物线C₂，且抛物线C₂的顶点为点P，交x轴
于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．