题目
题型:不详难度:来源:
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(1)点B的坐标为 ,点C的坐标为 (用含b的代数式表示);
(2)若b=8,请你在抛物线上找点P,使得△PAC是直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请你探索,在(1)的结论下,在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案
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(2)当∠CAP=90°时,P(10,4.5);当∠ACP=90°时,P(11,7.5)
(3)(1,4),
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解析
试题分析:(1)令y=0,解关于x的一元二次方程即可求出A,B横坐标,令x=0,求出y的值即C的纵坐标;
(2)先求出b=8时点B、点C的坐标,再分∠PAC=90°与∠PCA=90°两种情况分析即可;
(3)存在,假设存在这样的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似,有条件可知:要使△QOA与△QAB相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴;要使△QOA与△OQC相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°;再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可.
(1)在
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∵b是实数且b>2,点A位于点B的左侧,
∴点B的坐标为(b,0),
当x=0时,y=
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∴点C的坐标为(0,
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当b=8时点B、点C的坐标分别为B(8,0),C(0,2),二次函数关系式为
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设直线AC的解析式为
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∵图象过点A(1,0),C(0,2)
∴
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∴直线AC的解析式为
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当∠CAP=90°时,设直线AP的解析式为
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∵图象过点A(1,0)
∴
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∴直线AP的解析式为
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联立
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当∠ACP=90°时,设直线AP的解析式为
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∵图象过点C(0,2)
∴直线AP的解析式为
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联立
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(3)假设存在这样的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO,
∴∠QAB>∠AOQ,∠QAB>∠AQO.
∴要使△QOA与△QAB相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴.
∵b>2,
∴AB>OA,
∴∠Q0A>∠ABQ.
∴只能∠AOQ=∠AQB.此时∠OQB=90°,
由QA⊥x轴知QA∥y轴.
∴∠COQ=∠OQA.
∴要使△QOA与△OQC相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°.
(I)当∠OCQ=90°时,△CQO≌△QOA.
∴AQ=CO=
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由AQ2=OA•AB得:(
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解得:b=8±4
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∵b>2,
∴b=8+4
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∴点Q的坐标是(1,2+
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(II)当∠OQC=90°时,△OCQ∽△QOA,
∴
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又OQ2=OA•OB,
∴OC•AQ=OA•OB.即
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解得:AQ=4,此时b=17>2符合题意,
∴点Q的坐标是(1,4).
∴综上可知,存在点Q(1,2+
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点评:二次函数的综合题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大.
核心考点
试题【如图,已知抛物线(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C.(1)点B的坐标为 ,点C的坐】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点产作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并求出线段MN的最大值;
(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形?问对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形?请说明理由.
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A.(1,2) | B.(1,-2) | C.(![]() | D.(-![]() |
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(1)求A点的坐标;
(2)求该抛物线的函数表达式;
(3)连结AC.请问在x轴上是否存在点Q,使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC 相似,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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