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题目
题型:不详难度:来源:
已知△ABC中,边BC的长与BC边上的高的和为20.
(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式,并求出面积为48时BC的长;
(2)当BC多长时,△ABC的面积最大?最大面积是多少?
(3)当△ABC面积最大时,是否存在其周长最小的情形?如果存在,请说出理由,并求出其最小周长;如果不存在,请给予说明.
答案
解:(1)由题意,得
当y=48时,=48,解得:x1=12,x2=8。
∴面积为48时BC的长为12或8。
(2)∵
∴当x=10时,y最大=50。
(3)△ABC面积最大时,△ABC的周长存在最小的情形。理由如下:
由(2)可知△ABC的面积最大时,BC=10,BC边上的高也为10。
过点A作直线L平行于BC,作点B关于直线L的对称点B′,连接B′C 交直线L于点A′,连接A′B,AB′,

则由对称性得:A′B′=A′B,AB′=AB,
∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C,
当点A不在线段B′C上时,则由三角形三边关系可得:
△ABC的周=AB+AC+BC=AB′+AC+BC>B′C+BC,
当点A在线段B′C上时,即点A与A′重合,这时
△ABC的周长=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC,
因此当点A与A′重合时,△ABC的周长最小。
这时由作法可知:BB′=20,∴
∴△ABC的周长= +10。
因此当△ABC面积最大时,存在其周长最小的情形,最小周长为+10。
解析

试题分析:(1)先表示出BC边上的高,再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式,当y=48时代入解析式就可以求出其值;
(2)将(1)的解析式转化为顶点式就可以求出最大值。
(3)由(2)可知△ABC的面积最大时,BC=10,BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC,作点B关于直线L的对称点B′,连接B′C 交直线L于点A′,再连接A′B,AB′,根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值。
核心考点
试题【已知△ABC中,边BC的长与BC边上的高的和为20.(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式,并求出面积为48时BC的长;(2)当BC多长时,△A】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系:
x
3000
3200
3500
4000
y
100
96
90
80
(1)观察表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y(辆)与每辆车的月租金x(元)之间的关系式.
(2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.用含x(x≥3000)的代数式填表:
租出的车辆数
       
未租出的车辆数
       
租出每辆车的月收益
       
所有未租出的车辆每月的维护费
       
(3)若你是该公司的经理,你会将每辆车的月租金定为多少元,才能使公司获得最大月收益?请求出公司的最大月收益是多少元.
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已知,如图(a),抛物线经过点A(x1,0),B(x2,0),C(0,-2),其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F,过点E作⊙M的切线交x轴于点N。∠ONE=30°,

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)连结AD、BD,在(1)中的抛物线上是否存在一点P,使得△ABP与△ADB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)如图(b),点Q为上的动点(Q不与E、F重合),连结AQ交y轴于点H,问:AH·AQ是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。
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若二次函数 (a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M (x0,y0)在x轴下方,则下列判断正确的是
A.a>0B.b2-4ac≥0
C.x1<x0<x2D.a(x0-x1)( x0-x2)<0

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二次函数(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是
A.a>0 B.当﹣1<x<3时,y>0
C.c<0 D.当x≥1时,y随x的增大而增大

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如图,直线与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连接EF.若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).

(1)求点P运动的速度是多少?
(2)当t为多少秒时,矩形PEFQ为正方形?
(3)当t为多少秒时,矩形PEFQ的面积S最大?并求出最大值.
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