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题目
题型:不详难度:来源:
已知抛物线C1的顶点为P(1,0),且过点(0,).将抛物线C1向下平移h个单位(h>0)得到抛物线C2.一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点(如图),且点A、C关于y轴对称,直线AB与x轴的距离是m2(m>0).

(1)求抛物线C1的解析式的一般形式;
(2)当m=2时,求h的值;
(3)若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E,与抛物线C2交于点F.求证:tan∠EDF﹣tan∠ECP=
答案
解:(1)设抛物线C1的顶点式形式(a≠0),
∵抛物线过点(0,),∴,解得a=
∴抛物线C1的解析式为,一般形式为
(2)当m=2时,m2=4,
∵BC∥x轴,∴点B、C的纵坐标为4。
,解得x1=5,x2=﹣3。
∴点B(﹣3,4),C(5,4)。
∵点A、C关于y轴对称,∴点A的坐标为(﹣5,4)。
设抛物线C2的解析式为
,解得h=5。
(3)证明:∵直线AB与x轴的距离是m2,∴点B、C的纵坐标为m2
,解得x1=1+2m,x2=1﹣2m。
∴点C的坐标为(1+2m,m2)。
又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1,∴CE=1+2m﹣1=2m。
∵点A、C关于y轴对称,∴点A的坐标为(﹣1﹣2m,m2)。

设抛物线C2的解析式为
,解得h=2m+1。
∴EF=h+m2=m2+2m+1。

解析

试题分析:(1)设抛物线C1的顶点式形式(a≠0),然后把点(0,)代入求出a的值,再化为一般形式即可。
(2)先根据m的值求出直线AB与x轴的距离,从而得到点B、C的纵坐标,然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标,再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相同求出点A的坐标,然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式,再把点A的坐标代入求出h的值即可。
(3)先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C1的解析式求出C的坐标,从而求出CE,再表示出点A的坐标,根据抛物线的对称性表示出ED,根据平移的性质设出抛物线C2的解析式,把点A的坐标代入求出h的值,然后表示出EF,最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证。
核心考点
试题【已知抛物线C1的顶点为P(1,0),且过点(0,).将抛物线C1向下平移h个单位(h>0)得到抛物线C2.一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知抛物线(b,c是常数,且c<0)与x轴分别交于点A,B(点A位于点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).

(1)b=    ,点B的横坐标为    (上述结果均用含c的代数式表示);
(2)连接BC,过点A作直线AE∥BC,与抛物线交于点E.点D是x轴上一点,其坐标为
(2,0),当C,D,E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连接PB,PC,设所得△PBC的面积为S.
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为整数,则这样的△PBC共有    个.
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将抛物线向左平移2个单位,再向下平移1个单位,所得抛物线为
A. B.
C.  D.

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如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为
A.B.C.D.

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如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为   m.

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综合与探究:如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。

(1)求点A,B,C的坐标。
(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD,BC于点M,N。试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由。
(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点 Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
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