题目
题型:不详难度:来源:
(1)直接写出点B的坐标;
(2)如图,点P从点O出发,以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动;同时点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动.设移动时间为秒.
①当t为何值时,△OPQ的面积等于1;
②当t为何值时,△PQB为直角三角形;
(3)已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=-(x-t)2+t(t>0).问是否存在某一时刻t,将△PQB绕某点旋转180°后,三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)根据题意知B点坐标为(6,2);
(2)①可设t秒后△OPQ的面积等于1,则有P(,t)Q(2t,0),根据三角形的面积即可计算出t的值;
②要使△PQB为直角三角形,显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°,进而利用勾股定理分别分析得出PB2=(6-t)2+(2-t)2,QB2=(6-2t)2+22,PQ2=(2t-t)2+t2=2t2,再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论,求出符合题意的t值即可;
(3)存在这样的t值,若将△PQB绕某点旋转180°,三个对应顶点恰好都落在抛物线上,则旋转中心为PQ中点,此时四边形PBQB′为平行四边形,根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值.
试题解析:(1)根据题意知B点坐标为(6,2);
(2)①设t秒后△OPQ的面积等于1,则有P(,t)Q(2t,0),则有:
×t×2t=1
解得:t=1或-1(舍去)
故1秒后△OPQ的面积等于1
②要使△PQB为直角三角形,显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°.
如图1,作PG⊥OC于点G,在Rt△POG中,
∵∠POQ=45°,∴∠OPG=45°,
∵OP=t,∴OG=PG=t,
∴点P(t,t)
又∵Q(2t,0),B(6,2),
根据勾股定理可得:PB2=(6-t)2+(2-t)2,QB2=(6-2t)2+22,PQ2=(2t-t)2+t2=2t2,
①若∠PQB=90°,则有PQ2+BQ2=PB2,
即:2t2+[(6-2t)2+22]=(6-t)2+(2-t)2,
整理得:4t2-8t=0,
解得:t1=0(舍去),t2=2,
∴t=2,
②若∠PBQ=90°,则有PB2+QB2=PQ2,
∴[(6-t)2+(2-t)2]+[(6-2t)2+22]=2t2,
整理得:t2-10t+20=0,
解得:t=5±.
∴当t=2或t=5+或t=5-时,△PQB为直角三角形.
(3)存在这样的t值,理由如下:
将△PQB绕某点旋转180°,三个对应顶点恰好都落在抛物线上,
则旋转中心为PQ中点,此时四边形PBQB′为平行四边形.
∵PO=PQ,由P(t,t),Q(2t,0),知旋转中心坐标可表示为(t,t),
∵点B坐标为(6,2),∴点B′的坐标为(3t-6,t-2),
代入y=-(x-t)2+t,得:2t2-13t+18=0,
解得:t1=,t2=2.
考点: 二次函数综合题.
核心考点
试题【在平面直角坐标系中,矩形OABC过原点O,且A(0,2)、C(6,0),∠AOC的平分线交AB于点D.(1)直接写出点B的坐标;(2)如图,点P从点O出发,以每】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求m、n的值;
(2)求直线PC的解析式.
[温馨提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣,)].
A.4 | B.6 | C.8 | D.16 |
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠APC=90°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线l′∥l,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t.当t为何值时,△BCN的面积最大?最大面积为多少?
A. | B. |
C. | D. |
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