题目

题型：大港区一模难度：来源：

如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=

k

x

（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是______．

答案

如图，设直线y=x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F，EF交AB于M，
∵A点的横坐标为1，A点在直线y=x上，
∴A（1，1），
又∵AB=AC=2，AB∥x轴，AC∥y轴，
∴B（3，1），C（1，3），且△ABC为等腰直角三角形，
BC的中点坐标为（

3+1

2

，

1+3

2

），即为（2，2），
∵点（2，2）满足直线y=x，
∴点（2，2）即为E点坐标，E点坐标为（2，2），
∴k=OD×AD=1，或k=OF×EF=4，
当双曲线与△ABC有唯一交点时，1≤k≤4．
故答案为：1≤k≤4．