题目

题型：海南省竞赛题难度：来源：

如图，四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：
（1）如图1，当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB；
（2）如图2，当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA²+PC²=PB²+PD²；
（3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图3所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．

答案

解：（1）作BC的中垂线MN，在MN上取点P，
连接PA、PB、PC、PD，如图1所示，
∵MN是BC的中垂线，
∴PA=PD，PC=PB，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=DB，
即，
∴△PAC≌△PDB（SSS）；
（2）证明：过点P作KG∥BC，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB⊥KG，DC⊥KG，
∴在Rt△PAK中，PA²=AK²+PK²，
同理，PC²=CG²+PG²，PB²=BK²+PK²，PD²=+DG²+PG²，
PA²+PC²=AK²+PK²+CG²+PG²，PB²+PD²=BK²+PK²+DG²+PG²．
AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，可证得四边形ADGK是矩形，
∴AK=DG，同理CG=BK，
∴AK²=DG²，CG²=BK²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²；
（3）∵点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），
∴BC=4，AB=2，
∴S_矩形ABCD=4×2=8，
直线HI垂直BC于点I，交AD于点H，
当点P在直线AD与BC之间时，
S_△PAD+S_△PBC=BC·HI=4，
即x+y=4，因而y与x的函数关系式为y=4﹣x；
当点P在直线AD上方时，
S_△PBC﹣S_△PAD=BC·HI=4，
因而y与x的函数关系式为y=4+x；
当点P在直线BC下方时，
S_△PAD﹣S_△PBC=BC·HI=4，
y与x的函数关系式为y=x﹣4．

 



图1






图2




图3