题目

题型：镇江难度：来源：

保健医药器械厂要生产一批高质量医用口罩，要求在8天之内（含8天）生产甲型和乙型两种型号口罩共5万只，其中甲型口罩不得少于1.8万只．该厂生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果生产甲型口罩，每天能生产0.6万只；如果生产乙型口罩，每天能生产0.8万只，已知生产一只甲型口罩可获利0.5元，生产一只乙型口罩可获利0.3元．设该厂在这次任务中生产了甲型口罩x万只，问：
①该厂生产甲型口罩可获利润多少万元？生产乙型口罩可获利多少万元？
②该厂这次生产口罩的总利润是y万元，试求y关于x的函数关系式并给出自变量x的取值范围；
③如果你是该厂厂长，在完成任务的前提下，你怎样安排生产甲型和乙型口罩的只数，使获得的总利润最大，最大利润是多少？如果要求在最短时间内完成任务，你又怎样安排生产甲型和乙型口罩的只数？最短时间是多少？

答案

①0.5x，0.3×（5-x）；

②y=0.5x+0.3×（5-x）=0.2x+1.5，
首先，1.8≤x≤5，但由于生产能力限制，不可能在8天之内全部生产A型口罩，
假设最多用t天生产甲型，则（8-t）天生产乙型，依题意得：0.6t+0.8×（8-t）=5，
解得t=7，故x的最大值只能是0.6×7=4.2，
所以x的取值范围是1.8≤x≤4.2；

③要使y取得最大值，由于y=0.2x+1.5是一次函数，且y随x增大而增大，
故当x取最大值4.2时，y取最大值0.2×4.2+1.5=2.34（万元），
即安排生产甲型4.2万只，乙型0.8万只，使获得的总利润最大，最大利润为2.34万元，
如果要在最短时间内完成任务，全部生产乙型所用时间最短，
但要生产甲型1.8万只，
因此，除了生产甲型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产乙型，
所需最短时间为1.8÷0.6+3.2÷0.8=7（天）．