题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b>0)． P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P"（点 P"不在y轴上），连结P P"， P"A，P"C．设点P的横坐标为a．

(1) 当b＝3时，求直线AB的解析式；
(2) 在(1)的条件下，若点P"的坐标是(-1，m)，求m的值；
(3) 若点P在第一像限，是否存在a ，使△P"CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．

答案

解:  (1)设直线AB的解析式为y=kx+3，
把x＝－4，y＝0代人上式，得－4k+3＝0，
∴，      ∴
（2）由已知得点P的坐标是(1，m)，
∴，∴.
(3) 以下分三种情况讨论．
i)若∠AP"C= 90°，P"A= P"C（如图1），过点P"作P"H⊥x轴于点"H，

∴PP"=CH=AH=P"H =AC，
∴，∴．
ii)若∠P"AC=90°，P"A= CA(如图2)，

则PP"=AC，∴2a＝a+4，∴ a＝4．
iii)若∠P"CA =90°，则点P"，P都在第一象限，
这与条件矛盾，
∴△P"CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．

解析

（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）把（-1，m）代入函数解析式即可求得m的值；可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；
（3）点P在第一像限，若使△P"CA为等腰直角三角则∠AP′C=90°或∠P′AC=90°或∠P′CA=90°就三种情况分别讨论求出出所有满足要求的a的值即可