题目

题型：不详难度：来源：

如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m²）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C₁：于点A、B，交抛物线C₂：于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．
【猜想与证明】
填表：

m	1	2	3

由上表猜想：对任意m（m＞0）均有=　 　．请证明你的猜想．
【探究与应用】
（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为　 　；
（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；
【联想与拓展】
如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C₂于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C₁于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为　 　．

答案

猜想与证明：
填表为：

m	1	2	3

。理由见解析
探究与运用：
（1）。
（2）27。
联想与拓展
。

解析

试题分析：猜想与证明：
当m=1时，1=x²，1=x²，∴x=±2，x=±3。∴AB=4，CD=6。∴。
当m=2时，4=x²，4=x²，∴x=±4，x=±6。∴AB=8，CD=12。∴。
当m=3时，9=x²，9=x²，∴x=±6，x=±9。∴AB=12，CD=18。∴。
探究与证明：
（1）由条件可以得出△AOB与△CQD高相等，就可以得出面积之比等于底之比而得出结论：
（2）分两种情况讨论，当△AOB为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△AOB的面积，从而求出△CQD的面积，就可以求出其差，当△CQD为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积，进而可以求出结论。
解：猜想与证明：
填表为：

m	1	2	3

对任意m（m＞0）均有。证明如下：
将y=m²（m＞0）代入，得x=±2m，
∴A（﹣2m，m²），B（2m，m²）。∴AB=4m。
将y=m²（m＞0）代入，得x=±3m，
∴C（﹣3m，m²），D（3m，m²）。∴CD=6m。
∴。
∴对任意m（m＞0）均有。
探究与运用：
（1）∵O、Q关于直线CD对称，∴PQ=OP。
∵CD∥x轴，∴∠DPQ=∠DPO=90°。∴△AOB与△CQD的高相等。
∵，∴AB=CD。
∵S_△AOB=AB•PO，S_△CQD=CD•PQ，∴。
（2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图，

∴PO=PB=m²，AB=2OP。
∴m²=m⁴。∴4m²=m⁴，解得m₁=0，m₂=﹣2，m₃=2。
∵m＞0，∴m=2。
∴OP=4，AB=8，PD=6，CD=12。
∴S_△AOB==16，S_△CQD==24。
∴S_△CQD﹣S_△AOB=24﹣16=8。
当△CQD是等腰直角三角形时，如图，

∴PQ=PO=PD=m²，CD=2QP。
∴m²=m⁴。∴9m²=m⁴，∴m₁=0，m₂=﹣3，m₃=3。
∵m＞0，∴m=3。
∴OP=6，AB=12，PQ=9，CD=18。
∴S_△AOB==54，S_△CQD==81。
∴S_△CQD﹣S_△AOB=81﹣54=27。
联想与拓展：
由猜想与证明可以得知A（﹣2m，m²），D（3m，m²），
∵AE∥y轴，DF∥y轴，∴E点的横坐标为﹣2m，F点的横坐标为3m。
∴y=（﹣2m）²，y=（3m）²，∴y=m²，y=m²。∴E（﹣2m， m²），F（3m， m²）。
∴AE=m²﹣m2=m²，DF=m²﹣m²=m²。
∴S_△AEM=×m²•2m=m³，S_△DFM=×m²•3m=m³。∴。