题目

题型：江苏省中考真题难度：来源：

如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为。
试解决下列问题：
（1）填空：点D坐标为____；
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
（3）等式BO=BD能否成立？为什么？
（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论。

答案

解：（1）；
（2）由Rt△OAB的面积为，得B（t，），
∵BD²=AC²+（AB-CD）²，

=
∴②；
（3）若OB=BD，则OB²=BD²，
在Rt△OAB中，OB²=OA²+AB²=，
由①得，得，
∴，
∵，
∴此方程无解，
∴OB≠BD；
（4）如果，①当∠EBD=90°时，此时F，E，M三点重合，如右上图
∵BF⊥x轴，DC⊥x轴，
∴BF∥DC，
∴此时四边形BDCF为直角梯形；
②当∠EDB=90°时，如右下图
∵CF⊥OD，∴BD∥CF，
又AB⊥x轴，DC⊥x轴，
∴BF∥DC，
∴此时四边形BDCF为平行四边形；
下证平行四边形BDCF为菱形：
在Rt△BDO中，OB²=OD²+BD²，
∴，
∴，
，
∵BD在OD上方，解得，
或，（舍去），得
此时BD=CD=，
∴此时四边形BDCF为菱形。