题目

题型：不详难度：来源：

阅读材料：∵ax²+bx=c=0（a≠0）有两根为x1=

-b+ b2-4ac

2a

．x2=

-b- b2-4ac

2a

．
∴x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1•x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

．
综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

利用此知识解决：是否存在实数m，使关于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的两根平方和等于2？若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，说明理由．

答案

由题意知
x₁+x₂=-

b

a

=-（m+1），
x₁x₂=

c

a

=m+4，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m+1）²-2（m+4）=2，
∴m²=9，
∴m₁=3，m₂=-3，
又∵△=m²-2m-15≥0，
∴m≥5或m≤-3，
∴最后m=-3（m=3舍去）
存在实数m，使关于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的两根平方和等于2．