题目

题型：不详难度：来源：

已知：关于x的方程 （k-1）x²-2kx+k+2=0 有解．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁，x₂是方程的两个不等根，且满足（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂．求此时K的值．

答案

（1）当k=1时，方程为一元一次方程-2x+3=0，其有一个解．
当k≠1时，方程为一元二次方程，其有两个相等或不相等的实数根，
△=（-2k）²-4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．
综上所述，k的取值范围是k≤2．
（2）∵x₁≠x₂，由（1）知k＜2且k≠1，
由题意得：（k-1）x₁²+（k+2）=2kx₁（*），
将（*）代入（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂中得：2k（x₁+x₂）=4x₁x₂．
又∵x₁+x₂=

2k

k-1

，x₁x₂=

k+2

k-1

，
∴2k•

2k

k-1

=4•

k+2

k-1

．
解得：k₁=-1，k₂=2（不合题意，舍去），
则所求k值为-1．