题目

题型：四川省月考题难度：来源：

阅读下面材料：若设关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根为x₁，x₂，
那么由根与系数的关系得：x₁+x₂=﹣，x₁x₂=．
∴，
∴=a[x²﹣（x₁+x₂）x+x₁x₂]=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）．
于是，二次三项式就可以分解因式ax²+bx+c=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）．
（1）请用上面的方法将多项式4x²+8x﹣1分解因式．
（2）判断二次三项式2x²﹣4x+7在实数范围内是否能利用上面的方法因式分解，并说明理由．
（3）如果关于x的二次三项式mx²﹣2（m+1）x+（m+1）（1﹣m）能用上面的方法分解因式，试求出m的取值范围．

答案

解：（1）令4x²+8x﹣1=0，
∵a=4，b=8，c=﹣1，b²﹣4ac=64+16=80＞0，
∴x₁=，x₂=，
则4x²+8x﹣1=4（x﹣）（x﹣）；
（2）二次三项式2x²﹣4x+7在实数范围内不能利用上面的方法分解因式，
理由如下：令2x²﹣4x+7=0，
∵b²﹣4ac=（﹣4）²﹣56=﹣40＜0，
∴此方程无解，则此二次三项式不能用上面的方法分解因式；
（3）令mx²﹣2（m+1）x+（m+1）（1﹣m）=0，
由此二次三项式能用上面的方法分解因式，即有解，
∵b²﹣4ac=4（m+1）²﹣4m（m+1）（1﹣m）≥0，
化简得：（m+1）[4（m+1）+4m（m﹣1）]≥0，
即4（m+1）（m²+1）≥0，
∴m²+1≥1＞0，
∴m+1≠0，解得m≠﹣1，
又m≥0，则m≥﹣1且m≠0时，
此二次三项式能用上面的方法分解因式