题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定理：若x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两实根，则有x₁+x₂=-m，x₁x₂=n．请用这一定理解决问题：已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²+2=0的两实根，且（x₁+1）（x₂+1）=8，求k的值．

答案

由已知定理得：x₁x₂=k²+2，x₁+x₂=2（k+1）．
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=k²+2+2（k+1）+1=8．
即k²+2k-3=0，
解得：k₁=-3，k₂=1．
又∵△=4（k+1）²-4（k²+2）≥0．
解得：k≥

1

2

，故k=-3舍去．
∴k的值为1．