题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

二次函数y=ax²+bx+c过点A、B两点（A左B右），且分布在y轴两侧，且OA、OB的长是方程x²-5x+4=0的两根，且OA＞OB，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求4a-2b+c的值；
（2）连接AC、BC，P是线段AB上一动点，且AP=m，过点P作PM∥AC，交BC于M，当m为何值时，S_△PCM的面积最大，并求出这个最大值；
（3）△ABC外接圆的面积是______．（直接写出答案，结果保留π）

答案

（1）∵OA、OB的长是方程x²-5x+4=0的两根，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=1，
∵二次函数y=ax²+bx+c过点A、B两点（A左B右），且分布在y轴两侧，
∴A（-4，0），B（1，0），设抛物线的解析式是y=a（x-1）（x+4），
把C（0，4）代入得：4=a（0-1）（0+4），
a=-1，
∴y=-（x-1）（x+4）=-x²-3x+4，
4a-2b+c=4×（-1）-2×（-3）+4=6，
答：4a-2b+c的值是6；

（2）∵AP=m，
∴PB=5-m，
∵PM∥AC，
∴△PBM∽△ABC，
∴

S△PBM

S△ABC

=(

5-m

5

)2，
又∵S_△ABC=10，
∴S_△PBM=

2(m-5)2

5

，
又∵S_△PCB=2（5-m），
∴S_△PCM=10-2m-

2(m-5)2

5

=-

2

5

(m-

5

2

)2+

5

2

，
∴当m=

5

2

时，△PCM的面积最大，最大值是

5

2

，
答：当m为

5

2

时，S_△PCM的面积最大，这个最大值是

5

2

．

（3）故答案为：

17

2

π．