题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

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①方程x²-2x+1=0的根是x₁=x₂=1，则有x₁+x₂=2，x₁x₂=1．
②方程2x²-x-2=0的根是x₁=

1+ 17

4

，x₂=

1- 17

4

，则有x₁+x₂=

1

2

，x₁x₂=-1．
③方程3x²+4x-7=0的根是x₁=-

7

3

，x₂=1，则有x₁+x₂=-

4

3

，x₁x₂=-

7

3

．
（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根为x₁，x₂，那么x₁，x₂与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并证明你的猜想；
（2）利用你的猜想结论，解决下面的问题：
已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²-2=0有实数根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=11，求k的值．

答案

（1）猜想为：设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．
理由：设x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，
那么由求根公式可知，x1=

-b+ b2-4ac

2a

，x2=

-b- b2-4ac

2a

．
于是有x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1•x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

，
综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．

（2）x₁、x₂是方程x²+（2k+1）x+k²-2=0的两个实数根
∴x₁+x₂=-（2k+1），x₁x₂=k²-2，
又∵x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
∴[-（2k+1）]²-2×（k²-2）=11
整理得k²+2k-3=0，
解得k=1或-3，
又∵△=[-（2k+1）]²-4（k²-2 ）≥0，解得k≥-

9

4

，
∴k=1．