题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

，求证：n为奇数时，

1

an

+

1

bn

+

1

cn

=

1

an+bn+cn

．

答案

证明：∵

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

a+b+c

，
两边同时乘以abc （abc不等于0）得，
bc+ac+ab=

abc

a+b+c

，
两边同时乘以a+b+c得，
a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+3abc=abc，
∴a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+2abc=0，
∴a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+2abc=（a+b）（b+c）（a+c）=0，
∴a+b，b+c，c+a中，至少有一个是0，
故当n为奇数时aⁿ+bⁿ，bⁿ+cⁿ，aⁿ+cⁿ至少有一个是0，
同理：

1

an

+

1

bn

+

1

cn

-

1

an+bn+cn

，
=

(an+bn)(bn+cn)(an+cn)

anbncn(an+bn+cn)

，
=0．
∴

1

an

+

1

bn

+

1

cn

=

1

an+bn+cn

．