题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知实数a是一元二次方程x²-x-1=0的一个根，求代数式a⁸+7a^-4的值．

答案

∵a是一元二次方程x²-x-1=0的一个根，
a²-a-1=0
∴a²=a+1，
a⁴=（a+1）²=a²+2a+1=a+1+2a+1=3a+2
a⁸=（3a+2）²=9a²+12a+4=9（a+1）+12a+4=21a+13
又∵a²-a-1=0
∴a-

1

a

=1
∴a2+

1

a2

=3，
a4+

1

a4

=7
即a^-4=7-a⁴
∴a⁸+7a^-4
=21a+13+7（7-a⁴）
=21a+13+7（7-3a-2）
=21a+13+49-21a-14
=49+13-14
=48．