题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x，y，z的最小公倍数为60，x和y的最大公约数为4，y和z的最大公约数为3，那么张华发出的新年贺卡是多少张？

答案

由题意可知，y不仅是3的倍数，而且是4的倍数，即y是12的倍数．同时y是60的约数，故而可求y．
∵（x，y）=4，（y，z）=3
∴y是3与4的倍数，而3与4互质故y是12的倍数．
又∵[x，y，z]=60
∴y=12，60．进而可求出x．
∵[x，y，z]=60=3×4×5．
当y=12时，x、z中至少有一个含有因数5．
若x中有因数5，又x中有因数4，且4与5互质
∴x中有因数20
∵[x，y，z]=60，（x，y）=4
∴x=20
当x中没有因数5，∵x中有因数4，且x是60的约数
∴x=4，或x=12
∵（x，y）=4
∴x=4
当y=60时，（x，y）=4，而x中没有因数5，且[x，y，z]=60=3×4×5，
故x=4．
因此，张华发出的贺年卡为4张或20张．