题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）已知：5|（x+9y）（x，y为整数），求证：5|（8x十7y）．
（2）试证：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．

答案

证明：（1）已知5|（x+9y）（x，y为整数），
8x+7y=8x+72y-65y=8（x+9y）-65y，
因为已知5|（x+9y）（x，y为整数），65y也能被5整出．
故：5|（8x十7y）．

（2）①若n为奇数，设n=2k+1，k为大于2的整数，则写 n=k+（k+1），由于显然（k，k+1）=1，故此表示合乎要求．
②若n为偶数，则可设n=4k或4k+2，k为大于1的自然数．
当n=4k时，可写n=（2k-1）+（2k+1），并且易知2k-1与2k+1互质，
因为，若它们有公因子d≥2，则d|2，但2k-1与2k+1均为奇数，此不可能．
当n=4k+2时，可写n=（2k-1）+（2k+3），并且易知2k-1与2k+3互质，
因为，若它们有公因子d≥2，设2k-1=pd，2k+3=qd，p、q均为自然数，则得（q-p）d=4，可见d|4，矛盾．
故：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．