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反证法和放缩法

反证法

  原理

  若原命题:p≧q为真

  先对原命题的结论进行否定,即写出原命题的否定:p≧非q

  从这个否定的结论出发,推出矛盾,即命题:非q≧p为假(即存在矛盾)

  从而该命题的否定为真:非q≧非p为真

  再利用原命题和逆否命题的真假性一致,即原命题:p≧q为真

  误区

  否命题与命题的否定是两个不同的概念

  命题的否定只针对原命题的结论进行否定。而否命题同时否定条件和结论:

  原命题:p≧q

  否命题:非p≧非q

  命题的否定:p≧非q

  原命题与否命题的真假性没有必然联系,但原命题和原命题的否定却是对立的存在,一个为真另一个必然为假。

放缩法理论依据

(1)不等式的传递性:如果A>C,C>B,那么A>B;
(2)等量加不等量为不等量;
(3)同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较。
放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法 。

放缩法常见技巧

(1)舍掉(或加进)一些项。
(2)在分式中放大或缩小分子或分母。
(3)应用基本不等式放缩(例如均值不等式)。
(4)应用函数的单调性进行放缩。
(5)根据题目条件进行放缩。
(6)构造等比数列进行放缩。
(7)构造裂项条件进行放缩。
(8)利用函数切线、割线逼近进行放缩。
(9)利用裂项法进行放缩。
(10)利用错位相减进行放缩。
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