反函数

　　反函数的符号记为f -1(x)，在中国的教材里，反三角函数记为arcsin，arccos等等，但是在欧美一些国家，sinx的反函数记为sin(x)。咋看咋感觉这记号大有来头，怎么就觉得和x这种记号有些关系呢?

　　事实上，这种想法是对的，数学里没有无缘无故的规定。x表示1/x，那么f(x)与这是否有些关系呢?下面举几个例子来说明这点。当然，f(x)肯定和1/f(x)不等，但是确实有与之很相近的性质。

　　1：反函数的反函数

　　为了好看以及对比，我有时会把f(x)写成f.对比，我把我想各位应该很好理解，反函数的反函数当然就是原函数，写成数学语言就是(f)=f,看看，这是不是有点像指数的运算法则：(x)=x呢?

　　2：反函数的导函数

　　这个应该就很像了。这也是高等数学的内容，中学同学就看不懂了，所以有些东西必须等到后面才能懂的。

　　(f(x))’=1/f'(y)

　　用自然语言来说就是，反函数的导数，等于原函数导数的倒数。这话有点绕，不过应该能读懂，这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。

　　在这里要说明的是，y=x的反函数应该是x=y。只不过在通常的情况下，我们将x写作y，y写作x，以符合习惯。所以，虽然反函数和原函数不互为倒数，但是其导函数却是互为倒数。

　　3：反函数的复合函数

　　话说这个内容属于高等数学的内容了。大伙想想函数里面最简单最基本的函数是什么函数?不用说，肯定就是我们的恒等函数y=x，这就和我们数字里面的1一般地位，所以，我们记恒等函数为“1x”。

　　数字的基本运算就是加减乘除，而函数也有运算，虽然也有加减乘除，但是属于函数自己的，就是复合与反函数。我们知道在实数里，x与x的乘积等于1，在函数的复合运算里，也有类似的性质，函数f和g的复合记为f○g，那么下面的性质成立

　　f○f=1x

　　1x○f=f○1x=f

　　这第一个式子已经说明很多问题。实际上，这些都是属于高等代数的内容，在每一个封闭的系统里，都有一个“单位1”，都有自己的运算法则，函数里的就是1x，实数里的就是数字1等等。要深刻理解这些，也只有大家接触群论以后才会深入理解。这里也只是做点皮毛而已。我将在后面另起一文，介绍函数的“幂”的概念，就如同数的幂一样。

　　一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f -1 (x) 。反函数y=f -1 (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

　　一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)，则y=f(x)的反函数为x=f -1(y)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意：上标"−1"指的并不是幂。

　　在微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。

　　若一函数有反函数，此函数便称为可逆的(invertible)。

　　简单的说，就是把y与x互换一下，比如y=x+2的反函数首先用y表示x即x=y-2，把x、y位置换一下就行那么y=x+2反函数就是y=x-2