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向量求夹角
向量求夹角公式
相关试题
如图所示，三棱柱 
中，四边形
为菱形，∠BCC′=60°，△ABC为等边三角形，
面ABC⊥面BCC′B′，E、F分别为棱AB、CC′的中点；
（Ⅰ）求证：EF∥面A′BC′；
（Ⅱ）求二面角C-AA′-B的大小。如图，直三棱柱A1B1C1-ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分别为棱C1C、B1C1的中点。
（1）求点E到平面ADB的距离；
（2）求二面角E-A1D-B的平面角的余弦值；
（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1DB？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由。
已知几何体ABCD-EFG中，ABCD是边长为2的正方形，ADEG与CDEF 都是直角梯形，且∠EDA=∠EDC=90°，EF∥CD，EG∥AD，EF=EG= 
DE=1。
（1）求证：AC∥平面BGF；
（2）在AD上求一点M，使GM与平面BFG 所成的角的正弦值为
。 
如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为 
。
（1）在线段DC上是否存在一点F，使得EF⊥面DBC，若存在，求线段DF的长度，若不存在，说明理由；（2）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值。
如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m。
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60°；
（2）在线段A1C上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q⊥AP，并证明你的结论。
如图，ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF，
（1）求证：A1F⊥C1E；
（2）当A1、E、F、C1共面时，
求：①D1到直线C1E的距离；
②面A1DE与面C1DF所成二面角的余弦值．
如图，已知△AOB，∠AOB= 
，∠BAO=
，AB=4，D为线段AB的中点。若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的，记二面角B-AO-C的大小为θ。
(1)当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
(2)当θ∈[
，
]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围． 
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2， AB= BC，且AB⊥BC，O为AC中点，
（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC= 90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ACC1A1；
(Ⅱ)求二面角M-AN-B的余弦值。
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长。
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH 是四棱锥的高，E为AD中点。 
（1）证明：PE⊥BC；
（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值。如图所示，等腰△ABC的底边AB=6 
，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB。现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积。
（1）求V（x）的表达式；
（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点。 
（1）证明：SO⊥平面ABC；
（2）求二面角A-SC-B的余弦值。如图，在多面体ABCDA1E中，底面ABCD为正方形，AA1⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，AA1=2AB=4，且CE=λAA1，A1C⊥平面BED。 
（1）求λ的值；
（2）求二面角A1-BD-E的余弦值。如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，A1A= 
，M是CC1的中点，
(1)求证：A1B⊥AM；
(2)求二面角B-AM-C的平面角的大小．
如图，已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，四边形ABCD为正方形，AA′=2AB=2，E为棱CC′的中点，
(1)求证：A′E⊥平面BDE；
(2)设F为AD中点，G为棱BB′上一点，且BG=
BB′，求证：FG∥平面BDE；
(3)在(2)的条件下求二面角G-DE-B的余弦值．
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点。 
（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由。如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h，
（Ⅰ）求cos
；
（Ⅱ）记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，求cos∠BED的值。
如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°，
（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；
（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小。
已知如图几何体，正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD，M为AF的中点，BN⊥CE，
（Ⅰ）求证：CF∥平面BDM；
（Ⅱ）求二面角M-BD-N 的大小。
如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，
(Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；
(Ⅱ)求证：EF⊥CD；
(Ⅲ)若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小。
将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE= 
，
（Ⅰ）求证：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，若不存在，请说明理由。
如图，正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1，E是BB′的中点，F是B′C′的中点，
（1）求证：D′F∥平面A′DE；
（2）求二面角A-DE-A′的余弦值。
如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点，
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值。
如图，在三棱锥-P-ABCD中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC= 
，∠ABC=∠APC=90°，
（1）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（2）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为
，求BM的最小值。 
如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点，
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值。
如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=2，∠BCA=90°，棱AA1=4，E、M、N分别是CC1、A1B1、AA1的中点，
（1）求证：A1B⊥C1M；
（2）求BN的长；
（3）求二面角B1-A1E-C1平面角的余弦值。
如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1，
（Ⅰ）证明：EM⊥BF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面ABC所成的二面角的余弦值。
如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2 
，BC=6，
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-BD-A的大小。
如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O为AB的中点，
（1）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；
（2）当a为何值时，在棱DE上存在点P，使CP⊥平面DEF？
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又BA1⊥AC1，
（1）求证：AC1⊥平面A1BC；
（2）求C1到平面A1AB的距离；
（3）求二面角A-A1B-C的余弦值。
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和CC1的中点。
（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD1；
（Ⅱ）求面EFB和底面ABCD所成角的余弦值大小。
如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O为BC的中点。
（1） 求证：AO∥平面DEF；
（2） 求证：平面DEF⊥平面BCED；
（3） 求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值。
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，M为PB的中点。
（1）求证：PA⊥平面CDM；
（2）求二面角D-MC-B的余弦值。
如图，已知矩形ABCD的边AB=2 ，BC=
，点E、F分别是边AB、CD的中点，沿AF、EC分别把三角形ADF和三角形EBC折起，使得点D和点B重合，记重合后的位置为点P。
（1）求证：平面PCE⊥平面PCF；
（2）设M、N分别为棱PA、EC的中点，求直线MN与平面PAE所成角的正弦；
（3）求二面角A-PE-C的大小。
如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°。
（1）求证：BD⊥平面ADG；
（2）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值。
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，且AD=2，AB=AA1=3，∠BAD=60°，E为AB的中点，
（Ⅰ） 证明：AC1∥平面EB1C；
（Ⅱ）求直线ED1与平面EB1C所成角的正弦值。
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面所成角为θ，点B1在底面上的射影D落在BC上，
（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（2）若
，且当AC=BC=AA1=3时，求二面角C-AB-C1的大小。
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，∠DAC=∠ABC=90°， 
，
（Ⅰ）证明：AD⊥PC；
（Ⅱ）求PD与平面PBC所成角的大小。
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，∠DAC=∠ABC=90°， 
，
（Ⅰ）证明：AD⊥PC；
（Ⅱ）求PD与平面PBC所成角的大小。
如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是矩形，AB=2 ， 
，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点，
（Ⅰ）求证：PD⊥AC；
（Ⅱ）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求
的值，若不存在，请说明理由。
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1，
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围。
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示， 其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
（Ⅰ）证明：BN⊥平面C1NB1；
（Ⅱ）求平面CNB1与平面C1NB1所成角的余弦值。
如图，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=6，CD⊥AP于D，现将△PCD沿线段CD折成60°的二面角P-CD-A，设E，F，G分别是PD，PC，BC的中点，
（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；
（Ⅱ）若M为线段CD上的动点，问点M在什么位置时，直线MF与平面EFG所成角为60°。
已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点，
（1）证明：PF⊥FD；
（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；
（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值。
在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形。AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，
（Ⅰ）求证：BE∥平面APD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，
，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为45°。
。
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