概率

　　来源

　　概率(Probability)一词来源于拉丁语“probabilitas”, 又可以解释为 probity.Probity的意思是“正直，诚实”，在欧洲probity用来表示法庭案例中证人证词的权威性，且通常与证人的声誉相关。总之与现代意义上的概率“可能性”含义不同。

　　古典定义

　　如果一个试验满足两条：(1)试验只有有限个基本结果;(2)试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。这样的试验便是古典试验。对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)=m/n，其中n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。[1] 这种定义概率的方法称为概率的古典定义。[2]

　　频率定义

　　随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。

　　统计定义

　　在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)。从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。其中Ω、Φ分别表示必然事件(在一定条件下必然发生的事件)和不可能事件(在一定条件下必然不发生的事件)。

　　公理化定义

　　柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件：(1)非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;(2)规范性：对于必然事件Ω，有P(Ω)=1;(3)可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，(i,j=1,2……)，则有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……

　　性质1.P(Φ)=0.

　　性质2.(有限可加性)当n个事件A1,…,An两两互不相容时：　P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An).

　　性质3.对于任意一个事件A：P(A)=1-P(非A).

　　性质4.当事件A,B满足A包含于B时：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B).

　　性质5.对于任意一个事件A，P(A)≤1.

　　性质6.对任意两个事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB).

　　性质7.(加法公式)对任意两个事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).